Районна олімпіада з математики 7 клас

 Другий етап Всеукраїнської олімпіади з математики

2014-2015 н.р.

                                                               7 клас
Завдання:

      1. Сума цифр натурального числа x дорівнює y, а сума цифр числа y дорівнює z. Відомо, що x+y+z=60. Знайдіть усі такі числа x.

2. Швидкість бігуна А в 3 рази більша  швидкості бігуна Б, а один кілометр він пробігає на 10 хвилин швидше. Скільки кілометрів кожен з них пробігає за годину?

 3. Ціна вхідного квитка на стадіон була 180 грн. Після зниження вартості квитка кількість глядачів збільшилась на 50%, а виручка від продажу квитків – на 25%. Скільки став коштувати квиток?

4. Сума градусних мір двох кутів АОВ і ВОТ дорівнює 252°. Промінь, доповняльний до променя ОА, є бісектрисою кута ВОТ.  ОР- бісектриса кута АОВ, промінь  ОМ перпендикулярний з ОА. Знайти  градусні міри кутів АОВ, ВОТ, та  РОМ.

5. Дано шість чисел 2,3,4,5,6,7.  Дозволяється до будь-яких двох із них одночасно додавати по 2. Чи можна після кількох таких дій зробити всі числа рівними? ( Відповідь пояснити).

2014 р.

Відповіді:

1.  Відповідь. 44, 47, 50.

З умови задачі випливає, що число x двоцифрове. Нехай a і b – цифри числа x, тоді x=10a+b, y=a+b. Далі можливі два випадки: 1) якщо a+b≤9, то z=a+b; 2) якщо a+b>9, то z=a+b>9. У першому випадку 10a+b+a+b+a+b=60, тобто 4a+b=20, звідки a=4, b=4 або a=5, b=0. У другому випадку 4a+b=23, звідки a=4, b=7.

         2. Відповідь: 12 кілометрів і 4 кілометри.

Розв’язання 1. Так як бігун А пробігає кілометр в 3 рази швидше, ніж бігун Б, то різниця в часі, за який пробігає кілометр Б, і часом, за який пробігає кілометр А, в 2 рази більша часу, за який пробігає кілометр А. Отже, А пробігає кілометр за 5 хвилин. Тоді за годину А пробігає 12 кілометрів, а Б - 4 кілометри.

Розв’язання 2. Нехай v - швидкість в км/год. бігуна Б, 3v - швидкість бігуна A,

t - час у год, за який А пробігає один кілометр. Тоді 3vt = v (t +1 / 6) = 1, звідки

v = 4.

Коментар. Правильна відповідь без обґрунтувань - 1 бал. За складання рівняння без подальшого вірного розв’язання - 3 бали.

3. Відповідь. 150 грн.

Вказівка. Нехай x чол. відвідували стадіон до зниження вартості квитка, а y грн. – нова вартість квитка. Тоді виручка від продажу квитків спочатку була  180x грн., а після зниження вартості – 1,5x грн. Крім цього, (1,5x*y)/(180x)=1,25; звідки  (грн.).

4. Розвязання

ﮮТОЕ = ﮮВОЕ = 252⁰-180⁰ = 72⁰, тому ﮮАОВ = 180⁰-72⁰ = 108⁰, ﮮАОР = ﮮВОР = 108⁰ : 2 = 54⁰.

Точки Р та М можуть розташовуватись у різних півплощинах відносно прямої АЕ  або в одній , тому розглянемо обидва випадки.

ﮮМОР=90⁰+54⁰=144⁰, або ﮮМОР=90⁰-54⁰=36⁰.

5. Вказівка.  Припустимо, що можна, тоді якщо всі шість чисел рівні, то їх сума парне число, а спочатку сума була непарною і , збільшуючись за кожний крок на 4, залишиться непарною. Отже, зробити таким чином всі числа рівними неможна.