Районна олімпіада з математики 6 клас

 Другий етап Всеукраїнської олімпіади з математики

2014-2015 н.р.   

6 клас

Завдання:

94	64

10	3
13	7
20	6
26	14

      

1.У таблиці у першому рядочку записані два числа. Кожний наступний  рядок утворений додаванням та відніманням чисел попереднього рядочка. (наприклад, див. рис.) Таблиця утворена аналогічно, в ній числа останнього рядочка 94 і 64. Чому дорівнює сума чисел у першому рядочку цієї таблиці?

                         

    2.На дошці записані натуральні числа від 1 до 2014. Петрик спочатку підкреслив усі числа, які діляться на 2, після цього від підкреслив числа, кратні 3, а після цього – числа, кратні 4. З’ясуйте, скільки з даних чисел були підкреслені двічі?

3. Петро і Вася розрізали два однакових прямокутника. У Петра вийшло два прямокутники з периметром 40 см кожен, а у Васі – два прямокутники з периметром 50 см кожен. Який периметр мали початкові прямокутники?

4.Кульбаба вранці розпускається, два дня цвіте жовтим, на третій день вранці

стає білим, а до вечора облітає. Вчора вдень на галявині було 20 жовтих і  14 білих кульбаб, а сьогодні 15 жовтих і 11 білих.

а) Скільки жовтих кульбаб було на галявині позавчора?

б) Скільки білих кульбаб буде на галявині завтра?

5. Із шести кісточок доміно (див. рис.) складіть прямокутник 3 × 4 так,

щоб у всіх трьох рядках точок було порівну і у всіх чотирьох стовпцях точок

було теж порівну.   2014 р. Відповіді:

 1. Відповідь  47.

Позначимо числа у першому рядку через х та у тоді в четвертому рядку будуть числа 2(х+у) і 2(х - у) тоді 94=2(х+у) і 64=2(х - у). Тоді х+у=47

2. Відповідь  504.

 Розглянемо усі числа від 1 до 12, їх властивості будуть повторюватись для кожних наступних 12 послідовних чисел.

Числа 1, 5, 7, 11 не підкреслені, 2, 3, 9 та 10 підкреслені 1 раз, 4, 6, 8 підкреслені двічі, а 12 – тричі. Таким чином, двічі підкреслені 3 числа з кожних 12. Оскільки 167*12=2004, то серед перших 2004 чисел двічі підкреслені рівно 167*3=501 число. Залишається порахувати, скільки двічі підкреслених серед чисел 2005, ..., 2014. Таких чисел тут 2008, 2010, 2012. Таким чином усього таких чисел 504.

3. Відповідь  Периметр 60.

Якщо сторони вихідного прямокутника а і b, то у Петра вийшли периметри, рівні 2а + b= 40, а у Васі – рівні а +2b= 50. Тоді 3а +3b= 40+50=90. Звідси 2а +2b= 60 – периметри вихідних прямокутників.

4. Відповідь а) 25 жовтих кульбаб; б) 9 білих кульбаб.

а) Всі кульбаби, які позавчора були жовтими, стали білими вчора чи сьогодні. Тому їх було 14 + 11 = 25.

б) З вчорашніх жовтих кульбаб 11 побіліли сьогодні, а інші 20 - 11 = 9 побіліють завтра.

5. Відповідь. Одне з можливих розв’язків  приведено на рис.

 

Коментар. Всього точок 12, значить, в кожному рядку буде по 4, а в кожному стовпці по 3. Порожню доміношку і доміношку з чотирма точками не можна ставити вертикально, через те що у відповідному стовпчику ніяк не вийде трьох точок. Тому їх потрібно розмістити горизонтально в одному рядку. Отже потрібний приклад вже досить просто намалювати.